Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Dê uma parametrização para a curva dada pela interseção das seguintes superfícies:

  1. ( x   −   1 ) 2   +   y 2   =   1   e   x 2   +   y 2   +   z 2   =   4 ,   z   ≥   0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização das interseções. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar a parametrização de uma curva gerada por uma interseção. Para fazermos isso, primeiro descobrimos a interseção das curvas, e depois parametrizamos, podemos parametrizar e depois calcular as interseções. Vamos nessa!

Uma estratégia inicial é tentar deixar as outras variáveis em função de uma variável em comum. Por exemplo, deixar y   e   z em função de x

Passo 2

Queremos as interseções de ( x   −   1 ) 2   +   y 2   =   1   e   x 2   +   y 2   +   z 2   =   4 ,   z   ≥   0

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

  z   ≥   0

( x   −   1 ) 2   +   y 2   =   1

  x 2   +   y 2   +   z 2   =   4

Como podemos fazer essa interseção? Vamos começar fazendo a seguinte parametrização da primeira equação

x = c o s   t   + 1

y = s i n   t

com 0 ≤ t ≤ 2 π

Estamos fazendo isso pois essa é a equação de uma circunferência. Agora, substituímos esse resultado na segunda equação

  x 2   +   y 2   +   z 2   =   4

⇒ z 2 = 4 - ( c o s t + 1 ) 2 - s i n 2 t

z = 2 - 2 c o s   t

Passo 3

Ou seja, chegamos a conclusão que a nossa interseção é

x = c o s   t   + 1

y = s i n   t

z = 2 - 2 c o s   t com 0 ≤ t ≤ 2 π

Logo, a parametrização será

( c o s   t   + 1 , s i n   t ,   2 - 2 c o s   t   ) c o m   0 ≤ t ≤ 2 π  

Lembrando que uma curva pode ser parametrizada de várias formas distintas

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( c o s   t   + 1 , s i n   t ,   2 - 2 c o s   t   ) c o m   0 ≤ t ≤ 2 π  

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