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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 2h

Dê uma parametrização para a curva dada pela interseção das seguintes superfícies:

  1. x 2   +   y 2   +   z 2   =   2 y ,   z   ≥   0 ,   e   z   −   y   +   1   =   0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização das interseções. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar a parametrização de uma curva gerada por uma interseção. Para fazermos isso, primeiro descobrimos a interseção das curvas, e depois parametrizamos, podemos parametrizar e depois calcular as interseções. Vamos nessa!

Uma estratégia inicial é tentar deixar as outras variáveis em função de uma variável em comum. Por exemplo, deixar y   e   z em função de x

Passo 2

Queremos as interseções de x 2   +   y 2   +   z 2   =   2 y ,   z   ≥   0 ,   e   z   −   y   +   1   =   0

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

  z   ≥   0

x 2   +   y 2   +   z 2   =   2 y

  z   −   y   +   1   =   0

Como podemos fazer essa interseção? Vamos começar fazendo a seguinte parametrização da primeira equação

y = s i n   t   + 1

Substituindo na segunda equação,

z = s i n   t

Substituindo na primeira equação,

x 2   +   ( s i n t   + 1 ) 2     +   s i n 2 t   =   2 ( s i n t   + 1 )

⇒ x = ± 1 - 2 s i n   t

Mas precisamos que 1 - 2 s i n   t ,   s e j a   b e m   d e f i n i d a .   E n t ã o   p r e c i s a m o s   q u e  

1 - 2 s i n   t ≥ 0

⇒ s i n t ≤ 1 / 2

⇒ - 5 π / 6   ≤ t ≤ π / 6

Passo 3

Ou seja, chegamos a conclusão que a nossa interseção é

z = s i n   t

y = s i n   t + 1

x = 1 - 2 s i n t   com - 5 π / 6   ≤ t ≤ π / 6

Logo, a parametrização será

( 1 - 2 s i n t   , s i n   t + 1 , s i n   t ) c o m   - 5 π / 6   ≤ t ≤ π / 6  

Lembrando que uma curva pode ser parametrizada de várias formas distintas

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( 1 - 2 s i n t   , s i n   t + 1 , s i n   t )   c o m   - 5 π / 6   ≤ t ≤ π / 6  

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