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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

IME, Cálculo 2, 2019, VE1, Q3

A imagem da curva C , gerada por r → ( t ) , está contida na interseção das superfícies

x 2 + 2 y 2 + z - 4 = 0

x 2 + y + z - 3 = 0

Suponha que r → t 0 = 1,1 , 1 e   r → ' t 0 ≠ 0 → .

  1. Determine a reta tangente à curva no ponto r → ( t 0 ) ;
  2. Determine uma curva r → ( t ) nas condições acima.

Passo 1

Galerinha boa, se liga! Por uma análise bruta, ao igualarmos as expressões:

x 2 + 2 y 2 + z - 4 = x 2 + y + z - 3 = 0

⇒ 2 y 2 - y - 1 = 0 ⇒ y = 1   o u   y = - 1 / 2

Ou seja, a interseção está contida nesses planos separados. Como r → t 0 = 1,1 , 1 ∈ C ,

Tome y = 1 tal que substituindo:

x 2 + 1 + z - 3 = 0 ⇒ z = 2 - x 2

Logo, r → t = ( t ,   1 ,   2 - t 2 ) onde r → 1 = ( 1,1 , 1 ) e r → ' t = 1,0 , - 2 t , com r → ' 1 = 1,0 , - 1 ≠ 0 → .

r → t = ( t ,   1 ,   2 - t 2 )

Passo 2

No ponto r → ( 1 ) , a reta tangente a curva é dada por:

σ → t = r → 1 + t r → ' ( 1 )

Usando a curva encontrada no passo anterior, temos que a reta tangente é dada por:

σ → t = ( 1,1 , 1 ) + t ( 1,0 , - 1 )

Resposta

  1. σ → t = ( 1,1 , 1 ) + t ( 1,0 , - 1 )
  2. r → t = ( t ,   1 ,   2 - t 2 )

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