Ache tal que e é ortogonal a e a . Dos “”s encontrados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor ?
Passo 1
Esse problema, na verdade, são dois problemas em um. Primeiro, devemos achar que tenha e que forme com os vetores e . Ao encontrarmos que seja compatível com as características anteriores, o enunciado nos sugere que encontraremos mais de um vetor possível, e que desses devemos determinar qual deles forma um ângulo agudo com o vetor.
Dados:
Passo 2
Passo 3
Com os dados acima, encontraremos o vetor que denotaremos por:
Temos que:
Passo 4
A última informação que temos é que que equivale a:
Encontramos assim, um sistema de equações:
Das duas primeiras equações se subtrairmos a segunda equação da primeira chegamos que:
Substituindo na primeira equação novamente chega-se que:
Por fim, utilizando que e a 3ª equação descobrimos que:
Assim, temos duas possibilidades para o vetor :
Se , logo
Se logo
Passo 5
A primeira parte está concluída. Agora, temos que achar qual dos dois vetores de que formam um ângulo agudo com o vetor .
Mas, e agora o que eu faço para saber se é ou não agudo ??
Vamos raciocinar juntos!!
Do produto interno sabemos que a seguinte igualdade é válida:
Certo?!
Então, vamos analisar o que temos e o que podemos tirar com essa expressão. Bom, os vetores e nós temos. O módulo de nós já sabemos e do vetor será , só falta o ângulo. Ora, lá do Ensino Médio aprendemos que o cosseno de um ângulo agudo é maior ou igual a zero e que para um ângulo obtuso (maior que ) é menor que zero, lembrou??
Então, faremos esse teste com cada um dos dois vetores que achamos e verificar qual deles o cosseno é positivo. Aqui, tem um detalhe que não precisamos calcular os módulos, pois como todo o módulo é um valor positivo, o mesmo não vai influenciar no resultado ;). Ufa!! Vai nos poupar algumas continhas haha.
Assim, para , temos:
Para nossa sorte já achamos o resultados hehe
