Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Determinar o vetor v → ortogonal ao vetor u → = ( 2 ,   - 3 ,   - 12 ) e colinear ao vetor w → = ( - 6 ,   4 ,   - 2 ) .

Passo 1

O enunciado nos dá duas informações: que o vetor v → forma 90 ° (ortogonal) com o vetor u → e que v → é colinear a w → . A partir destas informações devemos determinar o vetor v → .

Passo 2

De novo nãoo!!!

Não sei o que é colinear, ou até posso saber, mas o que isso me ajuda???

Fica frio, que vais entender tudinho, beleza?

Bom, vamos começar com o colinear, pois sabendo o que ele representa, fica mais fácil resolver o resto. Colinear é o nome que damos a vetores que pertencem a mesma reta (linha), ou que são paralelos. Assim, como vimos no exercício anterior, para ser paralelo temos que ter:

v → = α . w →

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 = ( - 6 α , 4 α ,   - 2 α )

Passo 3

Agora vamos utilizar a informação de que v → e u → são ortogonais. Como vimos, o produto interno entre dois vetores ortogonais é ZERO.

v → ∙ u → = 0 → - 6 α , 4 α ,   - 2 α ∙   2 ,   - 3 ,   - 12 = 0

- 12 α - 12 α + 24 α = 0

0 α = 0

Aqui chegamos em um resultado meio inusitado. Mas, o que ele nos diz?? Que qualquer valor de α satisfaz a expressão acima, pois qualquer número multiplicado por zero dá zero.

Assim, o α pode ser qualquer valor pertencente ao conjunto dos Reais.

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 para α   ∈   R

Resposta

v → = α . - 6 ,   4 ,   - 2 para α   ∈   R

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