USP – Álgebra Linear – P1 2021 – Questão 6
Seja uma base de tal que
- ,
- o ângulo entre e mede
- é ortogonal tanto a quanto a
Considere os vetores e . Então, o produto escalar é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Oii pessoal, tudo certo? Vem comigo!
Temos uma base e dois vetores escritos nessa base:
E aí queremos encontrar o produto escalar
O ponto de partida pra essa questão é lembrar o seguinte: se os vetores estão escritos na base , então podemos escrevê-los assim:
E então, o produto escalar entre eles vai ser
Agora é só a gente usar o que sabemos sobre para encontrarmos esse produto escalar :P
Passo 2
Sabemos que
- ,
- o ângulo entre e mede
- é ortogonal tanto a quanto a
Então vamos usar isso para calcular esse produto escalar:
Fazendo a distributiva dos termos, vamos ficar com
Como é ortogonal a e a , já sabemos que o produto escalar com eles vale :
Passo 3
Então agora sobrou isso aqui:
Vamos lembrar de duas coisas sobre produto escalar:
- , onde é o ângulo entre os vetores
-
Então, o nosso produto escalar vai ficar assim:
Uhuuu, substituindo os valores:
Portanto:
E a alternativa correta é a letra A :D
Resposta
a) -1