Determinar um vetor ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   0 ,   1 ) .

Passo 1

O problema pede para encontrarmos um vetor, que chamaremos de w → , que o mesmo seja ortogonal, ou seja, forme 90 ° com o vetor v 1 → E v 2 → .

Passo 2

Uma característica importante é que quando falarmos em retas e plano será MUITO utilizada é a de que o produto interno entre dois vetores que formam entre si 90 ° vale ZERO. (Guarde essa dica com carinho ). Vamos usar essa característica para achar o vetor w → .

Passo 3

Como não sabemos nenhuma das coordenadas do nosso vetor w → , vamos assumir que:

w → = ( a ,   b ,   c )

Se sabemos que w → deve ser ortogonal a v 1 → E v 2 → . Então,

w → ∙ v 1 → = 0 e w → ∙ v 2 → = 0

a ,   b ,   c ∙ 1 ,   - 1 ,   0 = 0 e a ,   b ,   c ∙ 1 ,   0 ,   1 = 0

Das duas expressões acima, temos que:

a - b = 0 e a + c = 0

Logo,

a = b → c = - a

Assim, temos um conjunto de vetores possíveis que são da forma:

w → = ( a ,   a ,   - a )

Por simplicidade, um dos vetores possíveis é quando a = 1 :

w → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Resposta

w → = ( a ,   a ,   - a )

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