Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Sabendo que o vetor v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) forma um ângulo de 60 ° com o vetor A B → determinado pelos pontos A ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e B ( 4 ,   0 ,   m ) , calcular m .

Passo 1

Bom, nos é dado o ângulo entre os vetores v → e A B → . E, pede-se o valor de m , para que o ângulo entre os vetores seja 60 ° .

Dados:

v → = 2 ,   1 ,   - 1 A B →

A 3 ,   1 ,   - 2 B 4 ,   0 ,   m

θ = 60 ° → cos ⁡ 60 ° = 1 2

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor A B → , pois só temos os pontos A e B .

A B → = B - A = 4 ,   0 ,   m - 3 ,   1 ,   - 2     →     A B → = ( 1 ,   - 1 ,   m + 2 )

Agora que temos os dois vetores e o ângulo entre eles como achamos o valor de m ???

Bom, sabemos, que o produto interno é igual a:

v → ∙ A B → = v → A B → cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = v → ∙ A B → v → A B →    

Assim, se igualarmos os dois lados da equação acharemos m .

Passo 3

O produto interno é dado por

v → ∙ A B → = 2 ,   1 ,   - 1 ∙ 1 ,   - 1 ,   m + 2

= 2.1 + 1 . - 1 + - 1 . m + 2

v → ⋅ A B → = - m - 1

O módulo de v →   é dado por

v → = 2 2 + 1 2 + - 1 2 = 6

E o módulo de A B → é

A B → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + m + 2 2 = m 2 + 4 m + 6

Colocando os valores encontrados na “fórmula” deduzida acima, temos:

1 2 = - m - 1 6 . m 2 + 4 m + 6

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado

1 2 2 = - m - 1 6 . m 2 + 4 m + 6 2

1 4 = m 2 + 2 m + 1 6 . m 2 + 4 m + 6

Multiplicando cruzado

  6 . m 2 + 4 m + 6 = 4 . ( m 2 + 2 m + 1 )

6 m 2 + 24 m + 36 = 4 m 2 + 8 m + 4

Jogando tudo pro lado esquerdo

2 m 2 + 16 m + 32 = 0

Pra dar uma simplificada, vamos dividir tudo por 2

m 2 + 8 m + 16 = 0

Viu o que apareceu?? É um quadrado perfeito! \o/

m + 4 2 = 0

Isso significa que

m = - 4   ( r a i z   d u p l a )

Show! E esse é o nosso valor de m :D

Resposta

m = - 4   ( r a i z   d u p l a )

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