USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 13
Sejam tais que , e o ângulo entre e mede . Se é a medida do ângulo entre e , então é igual
Passo 1
Oiii gente, tudo certo??
Olha só, temos dois vetores ( e ), onde conhecemos os módulos deles:
E além disso, o ângulo entre esses 2 vetores vale
Agora queremos encontrar quem é o cosseno do ângulo entre e
Para isso, vamos usar essa relação de produto escalar:
Então vamos lá??
Passo 2
Aqui vamos usar essa fórmula:
Mas antes vamos encontrar as informações que precisamos substituir, começando por , pode ser?
Por propriedade de produto escalar, podemos escrever:
Como o produto escalar é comutativo, temos que . Logo, esses termos vão se cancelar:
Como sabemos os módulos de e , podemos calcular esse produto escalar assim:
Ebaaa, então já temos o nosso numerador :P
Passo 3
Agora vamos encontrar
Temos que
Podemos escrever , então:
Substituindo , :
Então:
Logo:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar
Temos
Fazendo , temos
Portanto
Passo 5
Showw, agora já temos todas as informações para substituir:
Arrasamos!!