Considere as seguintes afirmações:

se for um sistema de coordenadas em em que é uma base ortonormal de , então a área do triângulo de vértices e será igual a .

se forem vetores não nulos e paralelos, então:

para qualquer

a matriz

É invertível e sua inversa é

Assinale a alternativa correta:

a) todas as afirmações são verdadeiras;

b) apenas a afirmação é verdadeira;

c) apenas as afirmações e são verdadeiras;

d) apenas as afirmações e são verdadeiras;

e) apenas as afirmações e são verdadeiras.

Ooii pessoal, tudo bom?

Nessa questão precisamos avaliar três afirmações.

Na afirmação é falado que para um sistema de coordenadas , onde é uma base ortonormal de , a área do triângulo com vértices:

e

Vale .

Para avaliar essa afirmação precisamos relembrar como calcular a área de um triângulo no .

onde e representam dois lados do triângulo.

Assim, como temos os vértices, podemos afirmar que:

O sistema de coordenadas que foi falado no enunciado é bem semelhante ao que estamos acostumados, basta considerarmos que é a própria origem de . Assim:

Essa é a maneira mais formal de entender, mas na prática o que vai nos interessar é que:

Usando o mesmo raciocínio para encontrar o segundo vetor, temos:

Assim, a área do triângulo vale:

Resolvendo o produto vetorial:

Assim, temos que:

Portanto, a afirmação é verdadeira.