Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Sejam v , w ∈ V 3 tais que

v = 2

w = 3

2 v + w = 2

Então, 3 v - 2 w é igual a

a) 27 2

b) 135

c) 107 2

d) 153 2

e) 233 2

Passo 1

Fala pessoal! Preparados pra mais uma questão de álgebra?

Essa vai ser tranquila, vou te mostrar

Nós temos essas 3 informações sobre os vetores v e w :

v = 2

w = 3

2 v + w = 2

E aí queremos encontrar 3 v - 2 w

Bem, nós podemos usar essa relação:

3 v - 2 w 2 = 3 v 2 - 2 . 3 v . 2 w + 2 w 2

Mas para isso, vamos precisar da informação de quem é v . w , pra substituir ali no meio

Caaalma meu caro, podemos encontrar essa informação usando a mesma relação na 3ª informação que temos:

2 v + w 2 = 2 2 = 2 v 2 + 2 . 2 v . w + w 2

Então vamos lá??

Passo 2

Sabemos que

2 v + w 2 = 2 2 = 2 v 2 + 2 . 2 v . w + w 2

2 v 2 + 2 . 2 v . w + w 2 = 4

Substituindo os valores:

2 ∙ 2 2 + 4 . v ∙ w + 3 2 = 4

4 . v . w + 16 + 9 = 4

4 . v . w = - 21

Portanto

v . w = - 21 4

Passo 3

Agora vamos pro que realmente importa :P Sabemos que

3 v - 2 w 2 = 3 v 2 - 2 . 3 v . 2 w + 2 w 2

Então

3 v - 2 w ² = 3.2 2 - 2 ∙ 3 ∙ 2 . v . w + 2.3 2

3 v - 2 w 2 = 36 - 12 . - 21 4 + 36

3 v - 2 w 2 = 72 - 1 2 . - 21 4

3 v - 2 w 2 = 72 + 63 = 135

Então:

3 v - 2 w = 135

A alternativa correta é a letra B 😊

Resposta

b) 135

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