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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

USP, PSUB, 2018, Q8

Suponha que a → ,   b →   ∈ V 3 , a → = 1 ,   b → = 2 , e considere as afirmações seguintes:

I )     3 ≤ a → + b → ∙ a → + 2 b → ≤ 15

I I )   a → - b → ≠ 1 2

I I I ) a → - b → = 5   ↔ a → , b →   é   L . D .

Então está correto apenas o que se afirma em:

a )   I   e   ( I I )

b )   I   e   ( I I I )

c )   ( I I )

d )   I I   e   ( I I I )

e )   ( I )

Passo 1

Falaaaaaaa, blz??? Bora começar essa questão dando uma olhada geral no que poderemos fazer para cada item.

Os itens citam produto escalar sobre vetores que são combinação de outros e módulo de vetores, para poder atacar o problema temos algumas propriedades de produto escalar, bora citar eles e ver se conseguimos usar:

i )   v → ∙ u → + w → = v → ∙ u → + v → ∙ w →

i i )   α v → ∙ β u → = α β ( v → ∙ u → )

i i i )   v → = v → ∙ v → ↔ v → ∙ v → = v → 2

i v )   b → ∙ a → = a → ∙ b →

Passo 2

Bom, agora temos uma forma para atacar o problema, bora começar pela primeira afirmação:

I )     3 ≤ a → + b → ∙ a → + 2 b → ≤ 15

Aplicando (i) e depois (ii):

a → + b → ∙ a → + 2 b → = a → + b → ∙ a → + a → + b → ∙ 2 b → = a → + b → ∙ a → + 2 a → + b → ∙ b →  

Aplicando (i), novamente:

a → + b → ∙ a → + 2 a → + b → ∙ b → =   a → ∙ a → + b → ∙ a → + 2 a → ∙ b → + b → ∙ b →

Usaremos (iii) agora:

a → ∙ a → = a → 2 = 1  

b → ∙ b → =   b → 2 = 4

Agora bora unir todas informações:

a → + b → ∙ a → + 2 b → = a → ∙ a → + b → ∙ a → + 2 a → ∙ b → + b → ∙ b → = a → ∙ a → + b → ∙ a → + 2 b → ∙ a → + 2 b → ∙ b →

= 1 + 3 b → ∙ a → + 2 4 = 9 + 3 b → ∙ a →   * *

Vamos usar que b → ∙ a → =   b →   a → c o s θ = 2 c o s θ   e   t e m o s   q u e - 1 ≤   c o s θ ≤ 1 , ou seja:

- 2 ≤   2 c o s θ ≤ 2

O maior valor de b → ∙ a →   possível é 2, o menor é -2, vamos substituir isso em (**):

a → + b → ∙ a → + 2 b → = 9 + 3 b → ∙ a → ,   l o g o :

3 = 9 + 3 - 2 ≤ a → + b → ∙ a → + 2 b → ≤ 9 + 3 2 = 15

Logo a primeira afirmação tá certa

Passo 3

Agora vamos calcular a → - b →   para analisarmos os itens I I   e   ( I I I )

Usaremos (iii), primeiro:

a → - b → = ( a → - b → ) ∙ a → - b →

Bora analisar o que tá dentro da raíz, aplicando (I) e (II):

a → - b → ∙ a → - b → = a → - b → ∙   a → - a → - b → ∙ b →  

= a → ∙ a → - b → ∙ a → - a → ∙ b → + b → ∙ b → = 5 - 2 a → ∙ b → = 5 - 4 c o s ϑ

a → - b → = 5 - 4 c o s ϑ

Primeiro vamos analisar a segunda afirmação:

5 - 4 c o s ϑ = a → - b → ≠ 1 2

A “equação” acima é análoga a dizer que:

5 - 4 c o s ϑ ≠ 1 4

Mas veja que isso é verdade, pois a equação 5 - 4 c o s ϑ = 1 4 não possui solução, uma vez que teríamos c o s θ > 1

Passo 4

Bora para a última afirmação:

I I I ) a → - b → = 5   ↔ a → , b →   é   L . D .

Usaremos que:

a → - b → = 5 - 4 c o s ϑ

Ou seja 5 - 4 c o s ϑ = 5   → 4 c o s ϑ = 0   ↔   ϑ = π 2   , ou seja, como os vetores são perpendiculares eles serão L.I, então a afirmação tá errada.

Prontooooo, acabamos! Conseguimos fazer essa questãozinha envolvendo produto escalar e algumas de suas propriedades, bora para a próxima???

Resposta

Letra A

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