Considere o tetraedro regular de aresta unitária A , B , C , D :

O valor de A B → ∙ C D →   é

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar essa questão analisando o que podemos fazer. Para calcular o produto interno entre 2 vetores precisamos dos seus módulos e do ângulo entre eles. O módulo dos vetores são dados no enunciado, falta apenas o ângulo. Como o tetraedro é regular, suas faces são triângulos equiláteros, ou seja, conseguimos analisar o ângulo de vetores que estão “conectados”.

Passo 2

Vamos usar, portanto, que A B → =   A C → + C B →

Ou seja, A B → ∙ C D → = A C → + C B → ∙ C D → = A C → ∙ C D → + C B → ∙ C D →  

Agora, basta lembrarmos como calcular o produto interno de dois vetores, vamos usar os de cima como exemplo:

A C → ∙ C D → =   A C →   C D →   c o s x = c o s x  

Passo 3

Além disso, o ângulo em questão é o ângulo formado pela “base” dos vetores, usando um desenho só para deixar um pouco mais claro:

Temos que deixar os vetores com suas bases juntas e analisar o ângulo:

A C → ∙ C D → = c o s x  

O ângulo A C D ^ = 60 º   , pois é um triângulo equilátero. Logo x = 120 º

c o s x =   - 1 2

Agora basta calcular C B → ∙ C D →

Agora é mais tranquilo achar o ângulo, pois ambos começam no ponto C, sendo que eles estão num mesmo plano formando o vértice de um triangulo equilátero, ou seja:

C B → ∙ C D → = cos ⁡ 60 º = 1 2

A B → ∙ C D → = A C → + C B → ∙ C D → = A C → ∙ C D → + C B → ∙ C D → =   - 1 2 + 1 2 = 0

Resposta

Letra D

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