Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Mostre que

  1. | u → + v → | 2 = | u → | 2 + 2 u → ∙ v → + | v → | 2
  2. u → ∙ v → = 1 2 ( | u → + v → | 2 - | u → | 2 - | v → | 2 )

Passo 1

Demonstração???

Não sei nem por onde começar!!! ...Realmente, as que pedem demonstração assustam bastante, mas nem todas são tão impossíveis como parecem. Como veremos, nessas que vamos deduzir precisaremos um pouco das propriedades do produto interno e aí saí em duas linhas ;).

Passo 2

  1. | u → + v → | 2 = | u → | 2 + 2 u → ∙ v → + | v → | 2
  2. Em geral, nas demostrações de igualdade, escolhe-se um lado para destrinchar e chegar no resultado do outro lado. Nesse caso, por exemplo, vou tentar abrir o lado esquerdo que me parece mais tranquilo.

    Vamos lá!!!

    Vimos na teoria que o módulo de um vetor ao quadrado é igual ao produto interno do próprio vetor, ou seja

    u → + v → 2 = u → + v → ∙ u → + v →

    Já temos um início. E agora?? Agora,que entram as propriedade, a que podemos aplicar aqui é a distributiva que resulta em:

    ( u → + v → ) ∙ u → + v → = u → ∙ u → + v → + v → ∙ ( u → + v → )

    Aplicando mais uma vez a distributiva, temos:

    u → ∙ u → + v → + v → ∙ u → + v → =   u → ∙ u → + u → ∙ v → + v → ∙ u → + v → ∙ v →

    Como dissemos anteriormente, u → ∙ u → = | u → | 2 e , v → ∙ v → = | v → | 2 . Pelas propriedades sabe-se que o produto interno é comutativo, ou seja, u → ∙ v → = v → ∙ u → . Assim, chegamos em

    u → ∙ u → + u → ∙ v → + v → ∙ u → + v → ∙ v → = | u → | 2 + 2 u → ∙ v → + | v → | 2 c.q.d

    Assim, conseguimos partir de | u → + v → | 2 e chegar em u → 2 + 2 u → ∙ v → + | v → | 2 .

    Passo 3

  3. u → ∙ v → = 1 2 ( | u → + v → | 2 - | u → | 2 - | v → | 2 )

E essa, por onde começaremos? Bom, vamos olhar se algo nos é familiar... Parece que eu já vi | u → + v → | 2 em algum lugar!!

Lembra do item a que vimos que:

| u → + v → | 2 = | u → | 2 + 2 u → ∙ v → + | v → | 2

Podemos usar esse resultado na nossa dedução. Então, agora partiremos do lado direito para chegar no esquerdo, certo??

Vamos começar!!

1 2 2 u → ∙ v → = u → ∙ v →

C.q.d

Essa saiu mais rápido que a primeira!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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