Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

Ver Teoria
Exercício 32123456789101112131415161718192021222324252627282930313334353637383940414243

Enunciado

USP, 2018.1, P2, Q13

Sejam u → , v → , w →   ∈ V 3 vetores não-nulos. Considere as seguintes afirmações a respeito desses três vetores:

I )   S e     u →     ∧     v →   =   v →   ∧   w → =   w →   ∧     u →   ≠ O → , então u → + v → + w → =   O → ;

I I )   S e   u → , v → , w → =   u →   v →   w →   , então u → , v → , w →   s ã o   m u t u a m e n t e   o r t o g o n a i s ;

I I I )   T e m o s   u → + v → , v → + w → , w → + u → = 0   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   u → , v → , w → = 0 .

Passo 1

Falaaa, beleza??? Vamos começar essa questãozinha com uma ideia maneira que conseguimos tirar logo na afirmação (I):

u → , v → , w → =   u → ∧ v →   ∙ w → = v →   ∧   w →   ∙ w →   = 0

Veja que v →   ⋀ w →   ∙ w → = 0 , pois v →   ⋀ w → nos dá um vetor perpendicular a v →   e   w → , logo quando fizermos o produto escalar com w → dará zero.

u → ∧ v →   ∙ w → = v →   ∧   w →   ∙ w → = 0  

Como u → ∧ v →   ∙ w → = 0 podemos concluir que { u → , v → , w → }   é   L . D

Pois o produto misto de 3 vetores L.I é não nulo.

Além disso, podemos concluir que { u → , v → }   é   L . I ,   p o i s :

u →   ∧   v → ≠ 0

Passo 2

Agora vamos pensar, se { u → , v → , w → }   é   L . D e { u → , v → }   é   L . I podemos concluir que o “problema” é o w → ou seja:

w → =   α u → + β v →

Vamos usar isso em u → ∧ v → = w →   ∧     u → .

u → ∧ v → = w →   ∧     u → = α u → + β v → ∧ u →

Vamos usar a propriedade de linearidade à esquerda do produto vetorial que nos diz:

u → ∧ v → = α u → + β v → ∧ u → =   α u → ∧ u → + β v → ∧   u → = β v → ∧   u →

Lembrando que:

u → ∧ v → = -   v → ∧ u →

Dai:

u → ∧ v → = -   v → ∧ u → = β v → ∧   u →

Logo β =   - 1 .

De u →     ∧     v →   =   v →   ∧   w →   nós tiramos que:

v →     ∧     u →   =   w →   ∧   v → = α u → + β v → ∧ v → = α u → ∧ v → + β v → ∧   v → =   α u → ∧ v →

Usando novamente que v →     ∧     u → =   -   u →     ∧     v → , então:

α u → ∧ v → =   v →     ∧     u → =   -   u →     ∧     v → ,   d a i   α = - 1

E então, como w → =   α u → + β v →

Concluímos que:

w → =   - u → - v →   o u   a i n d a   u → + v → + w → = 0 →

Demorou, mas saiu a resposta.

Vamos agora para a afirmação (II).

S e   u → , v → , w → =   u →   v →   w →   , então u → , v → , w →   s ã o   m u t u a m e n t e   o r t o g o n a i s ;

Nessa afirmação vamos usar que:

u → , v → , w → =   u →   v →   s e n θ w → c o s φ

Onde θ é o ângulo entre u → e v → e φ o ângulo entre u → ∧ v → e w →

u →   v →   s e n θ w → c o s φ = u →   v →   w →

Logo s e n θ   c o s φ = 1

Como θ é o ângulo entre u → e v → , temos que θ   ∈ [ 0 , π ] e consequentemente s e n θ ≥ 0

Podemos concluir, então que s e n θ = c o s φ = 1

Ou seja θ = π 2   e   φ = 0

Como θ = π 2 , temos que u → , v →   são ortogonais e como φ = 0 podemos concluir que w → // u → ∧ v → , como u → ∧ v → ⊥ u →   e     u → ∧ v →   ⊥   v → e w → // u → ∧ v → concluímos que w → ⊥ u →   e   w → ⊥ v → , logo a afirmação (II) tá correta

Passo 3

Vamos respirar com calma e ir para essa terceira afirmação.

I I I )   T e m o s   u → + v → , v → + w → , w → + u → = 0   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   u → , v → , w → = 0 .

Vamos usar a seguinte propriedade de produto misto:

a → + b → , c → , d → = a → , c → , d → + b → , c → , d →  

Vamos para questão agora:

u → + v → , v → + w → , w → + u → =   u → , v → + w → , w → + u → + v → , v → + w → , w → + u → =

=   u → , v → , w → + u → + u → , w → , w → + u → + v → , v → , w → + u → + v → , w → , w → + u →

Mas v → , v → , w → + u → = 0 , logo:

=   u → , v → , w → + u → + u → , w → , w → + u → + v → , w → , w → + u → =

= u → , v → , w → + u → , v → , u → + u → , w → , w → + u → , w → , u → + v → , w → , w → + v → , w → , u → =

u → , v → , w → + + v → , w → , u → = 2 u → , v → , w →

Arrumando para ficar mais claro:

u → + v → , v → + w → , w → + u → = 2 u → , v → , w → =   0

Logo u → , v → , w → =   0

Resposta

Letra B

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →
Ache um vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido que - 2,4 , 2, mas tem comprimento 6 .
Velocidades têm módulo, direção e sentido, sendo portanto vetores. O módulo de uma velocidade é chamado velocidade escalar. Suponha que esteja ventando na direção N 45 ° W a uma velocidade de 50 km/h.
Suponha que a e b sejam vetores não nulos, não paralelos e que c seja um vetor pertencente ao plano determinado por a e b . Dê um argumento geométrico para mostrar que c pode ser escrito como c = s a
Determine a + b , 2 a + 3 b , |a| e |a - b| . 18. a = 4 i + j , b = i - 2 j