USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 9
Sejam tais que , , e tais que e são, ambos, ortogonais a . Se o ângulo entre e mede , então é igual a
Passo 1
Faaala pessoal, tudo belezinha?
Nesse exercício, temos 3 vetores , e também temos umas informações sobre eles:
- Os seus módulos: , ,
- é ortogonal a e (então o produto escalar com eles vai valer )
- O ângulo entre e vale
E aí a nossa missão aqui vai ser calcular
Para isso, vamos aproveitar o que a gente sabe sobre a expansão de produto notável com vetores, pode ser?
Então bora!
Passo 2
Vamos começar encontrando
Como e são ortogonais, o produto escalar vale . Além disso, sabemos que , . Então:
Então
Ta, mas por que a gente calculou isso???
Acontece que se queremos calcular , podemos fazer isso assim:
E agora já temos uma informação que vai ajudar aí! Então vamos lá!
Passo 3
Então vamos fazer:
Sabemos que e
Por propriedade de produto escalar, podemos escrever como :
Como é ortogonal a , temos que
Como forma um ângulo de com , o produto escalar entre eles vai ser :
Portanto:
E é isso galera hahaha