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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, PSUB - 2017, Questão 12

Sejam v → ,   w → ,   z → ∈ V 3 tais que

v → = 2 ,         w → = 3 ,       z → =   5 ,

w → e z → sejam ortogonais a v → e a medida do ângulo entre w → e z → seja igual a π / 6 .

Temos que - v → + w → + z → 2 é igual a:

a ) 53 2

b ) 91 2 ;

c ) 1 2 76 + 15 3 ;

d )   38 + 15 3 ;

e )   53 .

Passo 1

Faaala galerinha, tudo bom?

Nessa questão temos 3 vetores: v → ,   w → ,   z → . Sobre eles, sabemos que:

v → = 2 ,         w → = 3 ,       z → =   5 ,

E também que w → e z → são ortogonais a v → .

A partir disso, a questão nos pede para determinar:

- v → + w → + z → 2

Alguma ideia de como podemos fazer isso?

Tem duas propriedades muito importantes para lembrarmos aqui:

u → 2 = u → ⋅ u → u → ⋅ a → + b → = u → ⋅ a → + u → + b →

Vamos buscar aplicar essas duas propriedades juntamente com o fato de w → e z → serem ortogonais a v → , e por fim usaremos as informações dos módulos.

Vamo lá!

Passo 2

Queremos calcular:

- v → + w → + z → 2

Usando a propriedade que:

u → 2 = u → ⋅ u →

Temos:

- v → + w → + z → 2 = - v → + w → + z → ⋅ - v → + w → + z →  

Agora vamos chamar:

w → + z → = t →

Então:

- v → + w → + z → ⋅ - v → + w → + z → = t → - v → ⋅ ( t → - v → )

Usando agora a propriedade de que:

u → ⋅ a → + b → = u → ⋅ a → + u → + b →

Temos:

t → - v → ⋅ t → - v → = t → - v → ⋅ t → - t → - v → ⋅ v →

Usando a mesma propriedade mais uma vez para cada um dos termos, temos:

t → - v → ⋅ t → = t → ⋅ t → - v → ⋅ t → t → - v → ⋅ v → = t → ⋅ v → - v → ⋅ v →

Substituindo de volta na expressão principal, vem:

t → - v → ⋅ t → - v → =   t → ⋅ t → - v → ⋅ t → - t → ⋅ v → + v → ⋅ v →

Como o produto escalar tem a propriedade comutativa:

- v → ⋅ t → - t → ⋅ v → = - 2 t → ⋅ v →

Assim:

t → - v → ⋅ t → - v → =   t → ⋅ t → - 2 t → ⋅ v → + v → ⋅ v →

Como não temos informações sobre t → , vamos voltar para os vetores w → e z → .

Daí:

t → ⋅ t → = w → + z → ⋅ ( w → + z → )

Usando novamente aquela propriedade da distributiva, temos:

w → + z → ⋅ w → + z → = w → ⋅ w → + z → + z → ⋅ w → + z →

t → ⋅ t → = w → ⋅ w → + w → ⋅ z → + z → ⋅ w → + z → ⋅ z →

Perfeito, vamos agora para o próximo termo envolvendo t → :

t → ⋅ v → = w → + z → ⋅ v →

= w → ⋅ v → + z → ⋅ v →

Aí vem uma sacada muito legal! Como w → e z → são ortogonais a v → , temos que:

w → ⋅ v → = 0 z → ⋅ v → = 0

Logo:

- 2 t → ⋅ v → = 0

Pronto, substituindo tudo de volta em:

t → - v → ⋅ t → - v → =   t → ⋅ t → - 2 t → ⋅ v → + v → ⋅ v →

Vem:

t → - v → ⋅ t → - v → = w → ⋅ w → + w → ⋅ z → + z → ⋅ w → + z → ⋅ z → + v → ⋅ v →  

Ou seja galera, conseguimos encontrar que:

- v → + w → + z → 2 =   w → ⋅ w → + 2 ⋅ w → ⋅ z → + z → ⋅ z → + v → ⋅ v →  

Muito bom!

Passo 3

Agora vamos usar as informações do módulo dos vetores para finalizar o exercício.

Vimos que:

- v → + w → + z → 2 =   w → ⋅ w → + 2 ⋅ w → ⋅ z → + z → ⋅ z → + v → ⋅ v →  

Mas, sabemos também que:

v → = 2 ,         w → = 3 ,       z → =   5 ,

Assim, vamos ter:

w → ⋅ w → = w → 2 = 3 2 z → ⋅ z → = z → 2 = 5 2 v → ⋅ v → = v → 2 = 2 2

Além disso, o ângulo entre w → e z → é π / 6 . Assim:

w → ⋅ z → = w → ⋅ z → ⋅ cos ⁡ π 6

= 3 ⋅ 5 ⋅ 3 2

= 15 3 2

Substituindo tudo na expressão principal, temos:

w → ⋅ w → + 2 ⋅ w → ⋅ z → + z → ⋅ z → + v → ⋅ v → = 3 2 + 2 ⋅ 15 3 2 + 5 2 + 2 2

= 9 + 15 3 + 25 + 4

= 38 + 15 3

Prontinho! Matamos mais uma questão!

Até a próxima gente 😉

Resposta

Letra d).

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