Unb - Cálculo 1 - Listas - Lista 8 - Exercício 5
Um dos catetos de um triângulo retângulo diminui à uma taxa de , enquanto outro cresce . Em certo instante, o comprimento do primeiro lado é e o do segundo é . Passados , a que taxa está variando a área? Ela está aumentando ou diminuindo?
Passo 1
Bom dia, boa tarde, boa noiteeeee gente linda!! Se tá difícil por aí, deixa que a gente te ajuda. Vamos resolver mais uma com muito ânimo e carinho? Bora lá!!
A situação é a seguinte, temos um triângulo retângulo que vai sofrendo modificações em seus catetos, um cateto diminuí a uma taxa de e o outro cateto aumenta a uma taxa de . Então a questão nos fornece que em um dado instante o primeiro lado que chamaremos de possui e o outro cateto que chamaremos de possui . Passados se procura-se saber o que aconteceu com a área. E aí?? Como poderemos iniciar nosso probleminha?
Passo 2
Bom, como se deseja saber qual é a variação da área após a partir de um instante qualquer, vamos analisar como ficou as dimensões de cada cateto.
O cateto diminuí a uma taxa de . Assim,
Já o cateto aumenta a uma taxa de Logo,
Passo 3
A área de um triângulo retângulo é dado pela metade do produto dos catetos, ou seja,
Como queremos avaliar a variação da área em relação ao tempo, iremos aplicar a derivada de ambos os lados da equação. Utilizando a regra da cadeia temos:
Bom já temos o valor das dimensões de cada cateto passados do instante qualquer, e além disso, a questão já nos forneceu quanto varia cada cateto em relação ao tempo, então basta juntarmos nossos ingredientes e aplicarmos na receitinha!
Como a variação da taxa foi positiva significa que a área está aumentando com o passar do tempo.
E aí? Tudo bem?
Show! Bora fazer mais!!!
:)
Resposta
Aumentando à uma taxa de