UFABC – Cálculo 1 – Lista 4 – 6a
Cristais de clorato de sódio são fáceis de crescer no formato de cubos permitindo uma solução de água e clorato de sódio evaporar vagarosamente. Se for o volume de cada cubo com comprimento de lado :
Mostre que a taxa de variação do volume de cada cubo em relação ao comprimento da aresta é igual a metade da área da superfície do cubo.
Passo 1
E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?
Essa questão pede pra gente fazer uma comprovação do seguinte: a taxa de variação do volume do cubo com relação à área, , é igual a metade da área superficial do cubo.
Então primeiro, nós precisamos calcular em um determinado valor de x. E depois vamos ver se é igual à metade da área.
Mas a gente só consegue calcular , se encontrar uma equação que consiga correlacionar o volume do cubo com o tamanho do seu lado.
Passo 2
Sabemos que o volume do cubo está diretamente relacionado com seu lado pela equação:
Então se queremos conhecer , basta derivarmos o volume em função de
Agora vamos comparar com a área superficial!
Passo 3
Um cubo possui 6 faces, e cada face tem lado . A área superficial de cada lado é igual a , ou seja, como temos 6 faces, a área superficial total do cubo será a soma das áreas de suas 6 faces.
O enunciado disse que precisamos demostrar que é igual a metade da área superficial do cubo.
Ou seja, se a , temos que a metade da área superficial do cubo será dada por:
Note que temos então: