UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 4.4b
Uma escada com 13 pés está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a
escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela
escorrega a uma taxa de 5 pés/s.
(b) A que taxa a área do triângulo, formado pela escada, parede e pelo solo, varia?
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para calcular a taxa de variação da área do triângulo formado por uma escada de 13 pés, pela parede onde seu topo está apoiado e pela distância de apoio da base. Como a escada possui um tamanho fixo, há um vínculo entre a medida da distância do topo da escada ao chão e a distância horizontal da base da escada. Da figura, é simples perceber que esse vínculo pode ser escrito através do teorema de Pitágoras se notarmos que a escada, a distância vertical e a distância horizontal constituem, respectivamente, a hipotenusa e os catetos. Assim, podemos escrever a restrição das medidas na seguinte forma:
Sabendo que as distâncias x(t) e y(t) variam no tempo, mas o comprimento da escada não varia e, sabendo também que, a cada instante de tempo as distâncias formarão um novo triângulo retângulo, podemos calcular suas taxas de variações derivando a expressão. Então, vamos lá!
Passo 2
Escrevendo a componente y(t) em função da componente x(t), obtemos:
Para descobrir como a altura do topo varia com o tempo, derivamos a expressão acima em relação ao tempo, utilizando a regra da cadeia. Definindo as funções e , podemos escrever a função y(t) como . Assim, temos que a derivada da altura em relação ao tempo é:
Simplificando a expressão acima, podemos reescrevê-la como?
Como esperado, a taxa de variação do topo tem sinal oposto à taxa de variação da distância da base, já que, como a escada tem tamanho fixo, se a distância da base aumenta, a medida y(t) diminui com o tempo e vice-versa.
Passo 3
Agora, sabendo como a taxa de variação de y(t) se relaciona com a taxa de variação de x(t), podemos calcular a taxa de variação da área em função da derivada de apenas uma das variáveis. Sabendo que a área de um triângulo é metade do produto da base pela altura , temos que sua taxa de variação pode ser escrita como
Onde utilizamos a regra do produto para derivar a expressão da área. Substituindo as expressões para y(t) e y’(t), temos que a taxa de variação da área do triângulo é