UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 4.4c
Uma escada com 13 pés está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a
escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela
escorrega a uma taxa de 5 pés/s.
(c) A que taxa o ângulo, formado pela escada e pelo solo, varia?
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para calcular a taxa de variação do ângulo formado pela uma escada de 13 pés e pela distância de apoio de sua base no solo. Como a escada possui um tamanho fixo, há um vínculo entre a medida da distância do topo da escada ao chão e a distância horizontal da base da escada. Da figura, é simples perceber que esse vínculo pode ser escrito através do teorema de Pitágoras se notarmos que a escada, a distância vertical e a distância horizontal constituem, respectivamente, a hipotenusa e os catetos. Assim, podemos escrever a restrição das medidas na seguinte forma:
Sabendo que as distâncias x(t) e y(t) variam no tempo, mas o comprimento da escada não varia e, sabendo também que, a cada instante de tempo as distâncias formarão um novo triângulo retângulo, podemos relacionar suas taxas de variações derivando a expressão. Mas antes disso, é interessante explicitar como o ângulo depende de x(t) e y(t). Sabemos que, a tangente do ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto sobre o cateto adjacente. Assim, temos que
Então, podemos relacionar a taxa de variação de com as taxas de variação de y(t) e de x(t) derivando a equação acima. Então, bora lá derivar!
Passo 2
Escrevendo a componente y(t) em função da componente x(t), obtemos:
Para descobrir como a altura do topo varia com o tempo, derivamos a expressão acima em relação ao tempo, utilizando a regra da cadeia. Definindo as funções e , podemos escrever a função y(t) como . Assim, temos que a derivada da altura em relação ao tempo é:
Simplificando a expressão acima, podemos reescrevê-la como?
Como esperado, a taxa de variação do topo tem sinal oposto à taxa de variação da distância da base, já que, como a escada tem tamanho fixo, se a distância da base aumenta, a medida y(t) diminui com o tempo e vice-versa. Por enquanto, vamos guardar essa expressão, daqui a pouco a gente vai precisar dela!
Passo 3
Agora, sabendo como a taxa de variação de y(t) se relaciona com a taxa de variação de x(t), podemos calcular a taxa de variação do ângulo em função da derivada de apenas uma das variáveis. Mas primeiro, vamos ver como a taxa de variação de se relaciona com as outras taxas. Como , podemos derivar essa expressão através da regra da cadeia. Definindo as funções e . Assim, podemos escrever o ângulo como , e então, sua derivada temporal é
Onde utilizamos que a derivada de é e utilizamos a regra do quociente para derivar em relação ao tempo. Substituindo as expressões para y(t) e y���(t), podemos escrever a taxa de variação do ângulo em função de x(t) e x’(t) apenas: