Lista de aplicações – semana 7– UnB –regra da cadeia, derivação implícita, derivada de funções inversas– questão 4
Suponha que o numero de indivíduos de uma população de bactérias seja dado no instante , por onde é uma constante e é a população inicial. Sabendo que a derivada da exponencial é ela própria, , resolva os itens seguintes.
- Determine o instante em que o número de indivíduos é metade do valor inicial
- Determine a derivada
- Determine a taxa de variação do número de indivíduos em relação ao tempo
- Sabendo que e , determine a taxa acima no instante calculado no item a)
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?
Essa é a questão que contem questões dependentes, ou seja, que por exemplo o tem b depende de a ou outra ordem. Então segue junto que vamos destrinchar essa questão
Para a)
Pede o valor de quando , assim:
Então vamos atrás desse
Pegando o lagaritmos de ambos os lados:
Sabendo que o ln de Euler elevado a alguma valor é o próximo valor, isto é, por exemplo . Assim:
Isolando então:
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Para b)
É nós pedido para calcular , essa é uma função composta, isto é dentro da função de Euler, assim a regra de derivação deve ser a regra da cadeia, logo:
Como foi dito no enunciado , replicando isso aqui:
Assim:
Passo 3
Para c)
Agora nos pedem para calcular a taxa de variação de indivíduos o tempo, isto é:
A função de N foi dada assim:
Como temos uma função composta novamente, isto é dentro da função do inverso, temos que usar a derivação pela regra da cadeia, assim:
A derivada de nós já sabemos, porque achamos no item b
Para d)
Agora chegamos na parte mais tranquila, que é quando vamos colocar valores nas contas. Nos pedem para calcularmos numericamente o valor da taxa de variação da população de indivíduos em relação ao tempo, que é o que obtemos no item anterior, assim:
Como já dizemos antes
Resumindo:
Obrigado por ficar até aqui, carinha. Até a próxima!
Resposta
Para a)
Para b)
Para c)
Para d)