Uma escada de 8 metroles está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 * m / seg , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 metros da parede?

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão??

Essa é bem clássica hein, bom temos uma escada de 8   m e t r o s . Essa escada está encostada em uma parede, em seguida essa escada é afastada em sua extremidade inferior a uma velocidade de 2   m / s e g , então deseja-se saber qual é a velocidade na extremidade superior quando essa escada distar 3   m e t r o s da parede. Belezura, então a nossa situação é a da imagem seguinte:

Onde E representa o tamanho da escada, y representa a altura da extremidade superior em relação ao pé da parede e por fim, x   que representa a distância da extremidade inferior da escada ao pé da parede. E aí? O que podemos fazer agora?

Passo 2

Bom, pela imagem do passo anterior vemos que é possível relacionar as distâncias aplicando o teorema de Pitágoras. Assim,

E ² =   y ²   +   x ²

Sendo que E   =   8   m

y ² + x ²   =   64

Passo 3

Como desejamos saber a velocidade da ponta superior da escada quando x   =   3 , e é importante lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Nesse caso deveremos aplicar a derivação implícita na equação anterior para que possamos encontrar o desejado. Sendo assim,

( 64 ) ' =   ( y ² + x ² ) '

0   =   2 y y ' + 2 x x '

Já sabemos o valor de x   =   3   m , o enunciado nos forneceu também quanto varia o x em relação ao tempo ( x ' ) . Logo basta encontrarmos o valor de y para aplicarmos na expressão encontrada. Se y ² + x ²   =   64 e   x =   3 então y será:

y ² + x ²   =   64

y ² + 3 ²   =   64

y ²   =   64 - 9   = 55

y   =   55

Passo 4

Agora já temos tudo para aplicar na nossa receitinha de bolo, bora lá!

  2 y y ' + 2 x x ' =   0

Queremos encontrar o valor de y ' uma vez que a velocidade da escada na extremidade superior é a taxa de variação da distância em um dado tempo.

2 55 y '   +   2 ( 3 ) 2 =   0

y '   =   - 6 55     m / s

E aí? Consegui te ajudar? Beleza!

Bora continuar treinando! :)

Resposta

  - 6 55     m / s

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