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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

Ache a integral indefinida geral.

∫ sec ⁡ t sec ⁡ t - tg ⁡ t d t

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral indefinida.

Várias funções trigonométricas têm integrais imediatas. Então ao invés de se desesperar, que tal tentar manipular essa expressão ninjamente para chegar nessas integrais imediatas? (Na real, nem precisa ser ninja, vai, aquela sec ⁡ t ali do lado de fora está pedindo, muito forte, para você fazer uma distruibutiva!)

Passo 2

Vamos aplicar a distributiva:

∫ sec ⁡ t sec ⁡ t - tg ⁡ t d t = ∫ ( sec 2 ⁡ t - sec ⁡ t ⋅ tg ⁡ t ) d t

= ∫ sec 2 ⁡ t d t - ∫ sec ⁡ t ⋅ tg ⁡ t d t

Passo 3

Ficou mole! Lembra?

∫ sec 2 ⁡ t d t = tg ⁡ t + C 1

∫ sec ⁡ t ⋅ tg ⁡ t d t = sec ⁡ t + C 2

Passo 4

É só juntar e correr pro abraço:

∫ sec ⁡ t sec ⁡ t - tg ⁡ t d t = tg ⁡ t - sec ⁡ t + C

Resposta

∫ sec ⁡ t sec ⁡ t - tg ⁡ t d t = tg ⁡ t - sec ⁡ t + C

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