UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais
9.3 Calcule , com .
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos calcular , sabendo que .
Pra isso, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se é uma função contínua em e com , então também é contínua no intervalo e , no intervalo .
Da propriedade de integral que diz que se tivermos uma integral com intervalo de integração de até , podemos dividi-la em duas, com intervalos de integração de até e de até :
E outra propriedade que diz que podemos trocar os intervalos de integração, mas isso muda o sinal da integral:
Passo 2
Pooo... é beeem tentador a gente dizer , né? Mas NÃO pode. Repara que pra usar o Teorema Fundamental do Cálculo precisamos que o intervalo de integração de baixo seja uma constante e o de cima seja .
A integral do exercício não está do jeito que precisa, mas podemos manipular...
Dividindo em duas integrais (propriedade):
Na primeira integral queremos mandar o pra cima e a constante pra baixo, né? Podemos inverter os limites de integração e colocar o sinal de menos na frente (propriedade):
Passo 3
Agora queremos derivar, né?
Pra primeira integral já aplicamos direto o Teorema Fundamental do Cálculo:
Maaas a segunda nós não temos só no limite de integração de cima. Quando temos alguma função no limite de integração de cima, nós usamos a regra da cadeia, que vai ser só calcular a derivada desse limite de integração e multiplicar pelo resultado “normal” do teorema, lembrando que no lugar de onde seria colocamos o limite de integração:
Então: