UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 12 – Questão 7b
Verifique que as funções abaixo não dependem de . Note que, procedendo como acima, é possível fazer isso sem saber a primitiva das funções que estão integradas
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E pediu para verificarmos que essa função não depende de ! Mas, o que seria isso? Seria que a derivada dela em relação a é zero!
Anota aí!
E o que tem a ver isso com o exercício anterior? Bom, no anterior vimos como calcular a derivada da função quando ela é composta com uma integral (como nesse caso) e o limite superior é uma função qualquer:
Então a ideia aqui é: aplicar o conhecimento adquirido no exercício anterior para calcular a derivada de e verificar que essa derivada é nula!
e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é definida como uma integral em cujos limites são duas funções:
No entanto, para aplicar o que vimos no exercício anterior, o limite inferior da integral deve ser constante e o superior uma função, então precisamos quebrar essa integral!
E já está pronto? Ainda não! Vamos agora inverter os limites de integração da integral mais à esquerda, assim teremos a integral no formato do nosso teorema!
Lembra que toda vez que você inverter os limites de integração, precisa trocar o sinal que está na frente dessa integral!
beleza? Agora vamos ao que vimos no exercício anterior!
Passo 3
Depois de separada nossa função ficou assim
E queremos calcular a derivada dessa função! Então vamos derivar em separado, cada uma dessas integrais, passo a passo! No exercício anterior aprendemos que
Na integral mais a esquerda a função , e . Aí a derivada dessa parte vai ser:
Beleza até aqui?
Agora a derivada da integral mais à direita. Ela tem como limite superior função , e a derivada é , aí a derivada dessa integral fica assim
Tudo bem até aqui?
Passo 4
Agora vamos juntar esses resultados!
Como a derivada da soma é a soma das derivadas:
Encontramos que a derivada de em relação a é zero! Então isso significa que a função independe de !
E é isso! Espero ter ajudado!