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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 9b

Considere a função G x = ∫ 0 x 1 1 + t 4 d t definida para todo x real

  1. Determine G 0 e   G ' x .
  2. A seguinte desigualdade é verdade? G 3 - G 1 < 1 . Justifique.

Passo 1

Agora vamos verificar a desigualdade G ( 3 )   -   G ( 1 )   <   1 . Primeiro, calculamos G 3   e   G ( 1 ) :

G ( 3 )   = ∫ 0 3 1 1 + t 4 d t

G ( 1 )   = ∫ 0 1 1 1 + t 4 d t

Passo 2

Calculando essas integrais é um pouco complexo, mas sabendo que

0 < 1 1 + t 4 ≤ 1   p a r a   0 ≤ t ≤ 3

podemos afirmar que G ( 3 )   -   G ( 1 )   <   3   -   0   =   3 , o que implica que G ( 3 )   -   G ( 1 ) certamente é menor que 1.

Resposta

Portanto, a desigualdade G ( 3 )   -   G ( 1 )   <   1 é verdadeira.

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