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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

Integração por Substituição

Calcule:

∫ x + t g ( x ) d x

Passo 1

Pela propriedade de que integrais são distributivas, temos:

I = ∫ x d x + ∫ t g ( x ) d x

A primeira integral é mais simples de se resolver:

I 1 = ∫ x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 + C

Passo 2

Para a segunda, escrevemos em termo de seno e cosseno a função:

I 2 = ∫ s e n x cos ⁡ x d x

Como sabemos que a função seno é a derivada do cosseno, fazemos a substituição simples:

v = cos ⁡ x → d v = - s e n x d x

d x = - d v s e n x

Segue que:

I 2 = ∫ s e n x v d v - s e n x

I 2 = - ∫ d v v

Passo 3

Esta nós sabemos fazer:

I 2 = - ln ⁡ v + C

Substituindo de volta para x :

I 2 = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Pondo de volta na integral original, temos:

I = 2 3 x 3 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Resposta

2 3 x 3 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + C

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