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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

Integrais Indefinidas

Considere as funções f x = arctg ⁡ a x e g x = arcsen ⁡ b x :

a Calcule as derivadas de f e de g .

Calcule as integrais:

b ∫   1 1 + 9 x 2 d x

c ∫   1 1 - 7 x 2 d x

Passo 1

a Vamos derivar esses termos de acordo com suas respectivas definições. Primeiro o f x , derivamos como arco tangente:

f ' x = arctg ⁡ a x = a x ' 1 + a x 2

= a 1 + a 2 x 2

Agora o g x , arco seno:

g ' x = arcsen ⁡ b x = b x ' 1 - b x 2

= b 1 - b 2 x 2

É isso.

Passo 2

b Para calcular a integral da letra b a ideia é que nós encaixemos ela nos termos que acabamos de derivar. Como a integral é um processo inverso em relação à derivada, poderíamos traçar o seguinte paralelo:

1 1 + 9 x 2 = 1 a a 1 + a 2 x 2 ,   p a r a   a = 3

Assim, teríamos:

∫   1 1 + 9 x 2 d x = 1 a ∫   a 1 + a 2 x 2 d x = f a a = arctg ⁡ a x a

Como a = 3 , temos:

∫   1 1 + 9 x 2 d x = arctg ⁡ 3 x 3 + C

Passo 3

c Fazemos a mesma coisa, agora com a outra integral, nesse item c :

1 1 - 7 x 2 = 1 b b 1 - b 2 x 2 ,   p a r a   b = 7

Assim, teríamos:

∫   1 1 - 7 x 2 d x = 1 b ∫   b 1 + b 2 x 2 d x = g b b = arcsen ⁡ b x b

Como b = 7 , termos:

∫   1 1 - 7 x 2 d x = arcsen ⁡ 7 x 7 + C

Resposta

a   f ' x = a 1 + a 2 x 2   ;   g ' x = b 1 - b 2 x 2

b   ∫   1 1 + 9 x 2 d x = arctg ⁡ 3 x 3 + C

c   ∫   1 1 - 7 x 2 d x = arcsen ⁡ 7 x 7 + C

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