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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

Integral Definida, Integração por Substituição

Calcule:

∫ 0 π 2 8 x 2 + e 2 x + cos ⁡ x d x

Passo 1

Seja I a integral que queremos:

I = ∫ 0 π 2 8 x 2 + e 2 x + cos ⁡ x d x

Pela propriedade distributiva de integrais, temos que:

I = ∫ 0 π 2 8 x 2 d x + ∫ 0 π 2 e 2 x d x + ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x

Passo 2

Resolvendo cada uma, temos:

I 1 = ∫ 0 π 2 8 x 2 d x = 8 3 x 3 0 π 2

I 1 = 8 3 π 3 8 - 0 = π 3 3

Passo 3

Seguindo, obtemos:

I 2 = ∫ 0 π 2 e 2 x d x

Fazendo uma substituição simples para nos ajudar:

v = 2 x → d v = 2 d x

d x = d v 2

Calculamos então a indefinida:

I 2 * = ∫ e v d v 2 = e v 2 + C

Substituindo de volta para x :

I 2 * = e 2 x 2 + C

Para calcular a definida basta substituirmos os limites de integração:

I 2 = ∫ 0 π 2 e 2 x d x = e 2 x 2 + C 0 π 2

I 2 = e π 2 + C - e 0 2 + C

I 2 = e π 2 - 1 2

I 2 = e π - 1 2

Passo 4

Finalmente, a última integral é também a mais simples:

I 3 = ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x

Sabemos que a derivada do seno é o cosseno, portanto:

I 3 = s e n x 0 π 2

I 3 = s e n π 2 - s e n 0

I 3 = 1 - 0 = 1

Passo 5

Substituindo tudo de volta, temos:

I = π 3 3 + e π - 1 2 + 1

I = π 3 3 + e π 2 - 1 2 + 1

I = π 3 3 + e π 2 + 1 2

Resposta

π 3 3 + e π 2 + 1 2

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