UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais
9.4. Seja . Mostre que é de classe (ou seja, tem derivada contínua) e calcule .
Passo 1
Falaaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos mostrar que é de classe , ou seja, mostrar que a sua derivada, é contínua. Depois vamos calcular .
Pra isso, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se é uma função contínua em e com , então também é contínua no intervalo e , no intervalo .
Passo 2
Repara que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de vai ser a função que está dentro da integral, então:
E uma característica da função exponencial é que ela é contínua em todo o seu domínio, então a derivada de é de classe (tem derivada contínua).
Vamos lembrar também da propriedade de integrais de quando os limites de integração são iguais:
Passo 3
Agora vamos calcular ...
Poooo vai dar mó trabalhão, né??
Então... substitui o :
Hum.... quando temos os dois limites de integraç��o iguais, a integral é igual a zero.
Portanto: