UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P3 – M.Escolha
Sejam e números reais tais que . Seja uma função tal que e são funções contínuas para todo . Se
então podemos afirmar que, necessariamente,
é decrescente em .
é crescente em .
existe tal que tem um mínimo local em .
O gráfico de é côncavo para cima em .
existe tal que tem um máximo local em .
Passo 1
Vem comigo detonar com essa questão juntos!
Para analisarmos cada alternativa temos que mexer um pouco nas informações que temos. Primeiro:
Como temos que .
Temos também que:
Fazendo essa integral, temos:
Usando o que sabemos de :
Passo 2
Vamos analisar a alternativa .
Para uma função ser decrescente em um intervalo, sua derivada tem que ser negativa nesse intervalo.
Nós temos que então não é decrescente em todo o intervalo, então a alternativa está errada.
Passo 3
Vamos analisar a alternativa .
Para uma função ser crescente em um intervalo, sua derivada tem que ser positiva nesse intervalo.
Nós temos que então não é crescente em todo o intervalo, então a alternativa está errada.
Passo 4
Vamos ver a agora.
Para um ponto ser um ponto de máximo ou mínimo a derivada de tem que ser zero em algum ponto de .
Como já vimos antes, temos que:
Então se tinha um valor negativo no início do intervalo e positiva no final do intervalo então ela teve que ser zero em algum ponto .
Agora como é decrescente a partir de e depois ela fica crescente em , então é um ponto de mínimo local.
Então a letra está certa e ela a nossa resposta!
Resposta
existe tal que tem um mínimo local em .