Lembrando que duas funções que possuem a mesma derivada em um intervalo diferem por uma constante, determine a função y(x) que satisfaz as condições abaixo.

c) y'(x) = x^(-2) - 6x^2 - 1/3, y(1) = -1

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noiteeeee gente linda!! Se tá difícil por aí, deixa que a gente te ajuda. Vamos resolver mais uma com muito ânimo e carinho? Bora lá!!

Bom a questão quer que encontremos a função primitiva e sua respectiva constante, é por isso que a questão nos informa a derivada ( y ' ) e um ponto que pertence a nossa função ( y ) em questão. Como devemos iniciar???

Passo 2

Gente, o primeiro passo é encontrar a função primitiva por meio da aplicação da integral e em seguida deveremos substituir o ponto em questão para encontrarmos a respectiva constante. Bora fazer juntinhosss!

∫ y ' ( x )   = ∫ ( x - 2   -   6 x ²   - 1 3 ) d x   = ∫ x - 2 d x   - ∫   6 x ² d x   - ∫ 1 3 d x    

Depois de aplicar a integral da soma, temos que descobrir o valor de cada uma das integrais.

∫ x - 2 d x =   x - 2   + 1 - 2 + 1 =   - 1 x

Passo 3

Bom, basta que continuemos resolvendo as integrais.

∫   6 x ² d x     =   2 x ³

∫ 1 3 d x   =   x 3

Assim,

y ( x )   =   - 1 x   - 2 x ³   - x 3   +   K    

Não podemos esquecer da nossa constante K ! ! ! !

Para encontrar o valor da nossa constante K , basta utilizarmos o ponto que o enunciado nos forneceu y ( 1 )   =   - 1 .

y ( x )   =   - 1 x   - 2 x ³   - x 3   +   K    

y ( 1 )   =   - 1 1   - 2 ( 1 ) ³   - 1 3   +   K     =   - 1  

  K   =   7 3    

Por fim, a solução particular será

y ( x )   =   - 1 x   - 2 x ³   - x 3   + 7 3      

Consegui ajudar vocês, pimpolhos?! Espero que sim!

Uma ótima semana e bons estudos! :)

Resposta

y ( x )   =   - 1 x   - 2 x ³   - x 3   + 7 3      

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