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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

Calcule a integral

∫ 1 + x 2 + 1 1 + x 2 d x

Passo 1

Reescrever a integral como três integrais

Essa integral fica bem mais tranquila de resolver se dividirmos ela em três. Duvida? Dá uma olhada então:

∫ 1 + x 2 + 1 1 + x 2 d x =   ∫ 1 d x +   ∫ x 2 d x +   ∫ 1 1 + x 2 d x

As duas primeiras a gente resolve usando a mesma regrinha, enquanto a terceira é uma integral direta:

∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C

Vamos resolver as duas primeiras então:

Passo 2

Resolver as duas primeiras integrais separadamente

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? Vê se você lembra dessa regrinha de integrais:

∫ a t b d x = a t b + 1 b + 1 + C   ,     b ∈ Z ,     b ≠ - 1

Show de bola, é só aplicar essa regra agora:

∫ 1 d x = ∫ x 0 d x = x 0 + 1 0 + 1 = x

∫ x 2 d x = x 2 + 1 2 + 1 = x 3 3

Juntando todos os resultados:

∫ 1 + x 2 + 1 1 + x 2 d x = x + x 3 3 + arctan ⁡ x + C

Resposta

∫ 1 + x 2 + 1 1 + x 2 d x = x + x 3 3 + arctan ⁡ x + C

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