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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

  1. Calcule as integrais:
  1. ∫ 1 + x + x 2 x d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um integral indefinida para resolver.

∫ 1 + x + x 2 x d x

A integral parece ser complicada de resolver assim, mas repara que podemos separá-la em três integrais.

Vamos começar expandindo a função,

1 + x + x 2 x = 1 x + x x + x 2 x = x - 1 / 2 + x + x 3 / 2

Logo, a nossa integral ficará assim,

∫ 1 + x + x 2 x d x = ∫ x - 1 / 2 d x + ∫ x d x + ∫ x 3 / 2 d x

Opaaa! Agora temos intregrais mais simples de resolver. A gente pode aplicar a integração do polinômio em todas elas. Para quem não lembra, ele tem essa cara aqui:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Onde, C é a constante de integração.

Agora bora aplicar!

Passo 2

Para a primeira integral, temos

∫ x - 1 2 d x

Note que n = - 1 2 . Logo,

∫ x - 1 2 d x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C 1 = 2 x + C 1

Passo 3

Para a segunda integral, temos

∫ x d x

Note que n = 1 2 . Logo,

∫ x d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 + C 2 = 2 3 x 3 2 + C 2  

Passo 4

Para a ultima integral, temos

∫ x 3 / 2 d x

Note que n = 3 2 . Logo,

∫ x 3 / 2 d x = x 3 / 2 + 1 3 2 + 1 + C 3 = 2 5 x 5 2 + C 3

Passo 5

Por fim, juntando tudo, ficamos com

∫ 1 + x + x 2 x d x = ∫ x - 1 / 2 d x + ∫ x d x + ∫ x 3 / 2 d x

∫ 1 + x + x 2 x d x = 2 x + 2 3 x 3 2 + 2 5 x 5 2 + C

Onde C é a nossa constante de integração.

Resposta

2 x + 2 3 x 3 2 + 2 5 x 5 2 + C

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