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Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

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Enunciado

Calcule a integral

∫ sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ d θ

Passo 1

Reescrever a integral usando propriedades trigonométricas

Essa integral fica bem mais tranquila de resolver se reescrevermos ela usando conhecimentos das propriedades trigonométricas. Saca só:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Opa, essa propriedade é conveniente não é? Com ela a gente consegue mandar esse cosseno pro espaço, da uma olhada:

∫ sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ d θ =   ∫ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ =   ∫ 2 sin ⁡ θ d θ = 2 ∫ sin ⁡ θ d θ

Passo 2

Resolver a integral simplificada

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? A integral de seno a gente resolve diretamente:

2 ∫ sin ⁡ θ d θ =   - 2 cos ⁡ θ

No final vamos ter:

∫ sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ d θ =   - 2 cos ⁡ θ + C

Resposta

∫ sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ d θ =   - 2 cos ⁡ θ + C

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