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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

Calcular o integral de linha da função f x , y = x ao longo da curva γ t = ( e t cos ⁡ t , e t sin ⁡ t ) , para t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 1

Temos que:

∫ C x d s = ∫ a b f x t , y t . σ → ' d t

Já temos que a = 0 e b = 2 π pelo próprio enunciado. E a parametrização da curva nos dá x t = e t c o s ⁡ ( t ) e y t = e t s i n ⁡ ( t )

Passo 2

Começaremos calculando σ → ' :

σ → ' = d e t cos ⁡ t d t , d e t sin ⁡ t d t

= e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t , e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t

= e t cos ⁡ t - sin ⁡ t , sin ⁡ t + cos ⁡ t

Passo 3

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = e 2 t cos ⁡ t - sin ⁡ t 2 + sin ⁡ t + cos ⁡ t 2

= e t cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + sin 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + cos 2 ⁡ ( t )

= e t 2

Passo 4

Podemos, então, substituir σ → ' na integral, escrevendo x em função de t :

∫ 0 2 π e t cos ⁡ t . e t 2 d t  

2 ∫ 0 2 π e 2 t cos ⁡ t d t

Passo 5

Vamos, agora, integrar por partes, chamando e 2 t = u   e cos ⁡ t = d v . Temos 2 e 2 t = d u e sin ⁡ t = v .

∫ u d v = u v - ∫ v d u

e 2 t c o s ∫ ⁡ t d t = e 2 t sin ⁡ t - 2 ∫ e 2 t sin ⁡ t d t  

Teremos que resolver uma nova integral por partes. Chamando, agora, e 2 t = u e sin ⁡ t = d v , temos 2 e 2 t = d u e - cos ⁡ t = v e a integral passa a ser:

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sin ⁡ t - 2 - e 2 t cos ⁡ t + 2 ∫ e 2 t cos ⁡ t d t

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sin ⁡ t + 2 e 2 t cos ⁡ t - 4 ∫ e 2 t cos ⁡ t d t  

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t 5

Passo 6

Retornando para minha integral definida teremos:

2 ∫ 0 2 π e 2 t cos ⁡ t d t = 2 e 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t 5 t = 0 t = 2 π

= 2 5 e 4 π 0 + 2 - e 0 ( 0 + 2 )

Resposta

= 2 2 5 ( e 4 π - 1 )

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