Um pintor deseja pintar os dois lados de uma cerca cuja base é uma curva no plano dada por , para e . A altura em cada ponto é dada por . Se o pintor cobra reais por , quanto ele receberá?
Passo 1
Lembra que a integral de linha é a área embaixo da curva, onde a altura é dada por ?
Então, essa área vai ser exatamente a área da cerca. E o que ele pede na verdade é:
Onde e é a curva , para e .
Passo 2
Vamos começar achando a parametrização dessa curva. Se ela não tivesse aquele sobre no expoente, poderíamos fazer uma substituição de circunferência.
Então, vamos fazer algo parecido, olhando pra essa equação como a relação trigonométrica
Temos que
Pronto temos a nossa parametrização
Ele diz que pegou a parte positiva de e , então, vamos ter
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da parametrização
Então, calculamos :
Como o enunciado pede e , podemos tirar o módulo e ficar com
Passo 4
Substituindo na integral
Vamos achar a integral ignorando os limites de integração
Fazendo
Substituindo vamos ter
Desubstituindo
Passo 5
A cerca tem em cada lado uma área de , então a área total que ele vai pintar vai ser
O valor gasto vai ser isso vezes