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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

Integrais de linha – caso escalar

Seja C a curva em R 2 parametrizada por

σ t = t - s e n t , 1 - cos ⁡ t         t ∈ [ 0,2 π ]

Calcule o comprimento da curva.

Passo 1

Para calcular esse comprimento, vamos usar a integral de linha escalar:

∫ γ   d s = ∫ a b | σ → ' |   d t

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Passo 2

Vamos começar calcularndo σ → ' : σ → ' = d t - s e n t d t , d 1 - cos ⁡ t d t = ( 1 - cos ⁡ t ,   s e n   t )

Passo 3

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 2 - 2 cos ⁡ t

Passo 4

Temos então

C = ∫ γ   d s = ∫ 0 2 π 2 - 2 cos ⁡ t   d t = 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t   d t

Agora é só resolver isso aí. Vamos usar essa relação:

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ ( 2 t ) 2

Isso nos dá

1 - cos ⁡ t = 2 s e n 2 t 2

Levando para a integral

= 2 ∫ 0 2 π 2 s e n 2 t 2   d t =

= 2 ∫ 0 2 π s e n t 2   d t =

= 4 - cos ⁡ t 2 0 2 π =

= 4 1 + 1 = 8

Resposta

8

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