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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 3, P2 - 2021.2, Questão 3.

Seja C a elipse x 2 + 9 y 2 = 1 percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. O valor da integral ∫ C - y x 2 + y 2 - y d x + x x 2 + y 2 + x d y é:

a) π 2

b) 2 π

c) 7 π 4

d) 4 π

e) 8 π 3

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos uma integral de linha ∫ C - y x 2 + y 2 - y d x + x x 2 + y 2 + x d y onde C é a elipse x 2 + 9 y 2 = 1 percorrida no sentido anti-horário e nosso objetivo é obter o resultado dessa integral...

E aí, preparado? 👀

Podemos pensar em usar o teorema de Green, mas pra isso temos que verificar algumas coisas.

Primeiro a função F deve ser definida em todo o espaço e C deve ser uma curva fechada.

Esse teorema consiste em calcular

∫ C F → d r = ∬ C ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Sacou? Bora ver como é!

Passo 2

A nossa função é dada por

F → = - y x 2 + y 2 - y ,   x x 2 + y 2 + x

Analisando, podemos ver que ela não é definida na origem x , y = 0,0 e C contém esse ponto, portanto, para contornar esse problema, vamos adicionar outra região que contorna esse ponto.

E para isso, vamos usar C 2 como uma circunferência de raio 1 ... ou seja

∫ C F → d r = ∫ C 1 F → d r + ∫ C 2 F → d r = ∬ C 1 ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A 1 + ∬ C 2 ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A 2

Vamos calcular ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y para começar...

∂ F 2 ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 + x ∂ x

Pela regra do quociente, temos

∂ F 2 ∂ x = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + 1

Agora

∂ F 1 ∂ y = ∂ - y x 2 + y 2 - y ∂ y

Pelo mesmo método, vamos obter

∂ F 1 ∂ y = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - 1

Dessa forma, ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y será

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + 1 - - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - 1

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Veja só que maravilha! ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y é uma constante!

Isso significa que ∫ C F → d r pode ser obtido multiplicando a área das regiões C 1 e C 2 com essa constante, veja só

∫ C F → d r = ∬ C 1 2 d A 1 + ∬ C 2 2 d A 2

∫ C F → d r = 2 ∬ C 1 1 d A 1 + ∬ C 2 1 d A 2

∫ C F → d r = 2 á r e a C 1 + á r e a C 2

C 1 é composta pela elipse x 2 + 9 y 2 = 1 , ou seja x 2 1 2 + y 2 1 3 2 = 1  

A área de uma elipse é dada por π a b , se a = 1 e b = 1 / 3 , então

á r e a C 1 = 1 · 1 3 · π

á r e a C 1 = π 3

já como vimos antes, C 2 é uma circunferência centrada na origem de raio 1 que aplicamos para mascarar a indefinição de F → em 0,0 , 0 ...

á r e a C 2 = π

substituindo no teorema, vamos obter

∫ C F → d r = 2 π 3 + π

∫ C F → d r = 2 4 π 3

∫ C F → d r = 8 π 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

e) 8 π 3

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