Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Ver Teoria
Exercício 591234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575860

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 1c

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada

(c) ∫ C x   e y   d s , C e o arco da curva x = e y de ( 1 ,   0 )   a   ( e ,   1 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ C x   e y   d s , C e o arco da curva x = e y de ( 1 ,   0 )   a   ( e ,   1 )

Sabendo que a integral de linha é dada por

∫ C f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x ( t ) ,   y ( t ) ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral ∫ C x   e y   d s , C e o arco da curva x = e y de ( 1 ,   0 )   a   ( e ,   1 ) .

Então, temos que construir a equação da reta y ( x ) = l n   x , assim

∫ 1 e x   e y ( x )   1 + ( d y d x ) 2 d x .

Passo 3

Temos y é dado por

y ( x ) = l n   x .

Vamos calcular 1 + ( d y d x ) 2 , sendo

d y d x = 1 x

Assim,

1 + ( d y d x ) 2 = ( 1 x ) 2 + 1 = 1 + x 2 x .

Passo 4

Voltando para a integral

∫ 1 e x   e y ( x )   1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ 1 e x   e l n   x   1 + x 2 x d x = ∫ 1 e x   1 + x 2 d x .

Resolvendo por integração por substituição simples, u = 1 + x 2 e d u = 2   x   d x . Então

1 2 ∫ x = 1 e u   d u = ( 1 + x 2 ) 3 2 3 | e 1 = ( 1 + e 2 ) 3 - 2 2 3

∫ C x   e y d s = ( 1 + e 2 ) 3 - 2 2 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C x   e y d s = ( 1 + e 2 ) 3 - 2 2 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a metade é a metade do círculo x 2 + y 2 = 16
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = c o s 3 t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í