Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada

(c) ∫ C x   e y   d s , C e o arco da curva x = e y de ( 1 ,   0 )   a   ( e ,   1 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ C x   e y   d s , C e o arco da curva x = e y de ( 1 ,   0 )   a   ( e ,   1 )

Sabendo que a integral de linha é dada por

∫ C f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x ( t ) ,   y ( t ) ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral ∫ C x   e y   d s , C e o arco da curva x = e y de ( 1 ,   0 )   a   ( e ,   1 ) .

Então, temos que construir a equação da reta y ( x ) = l n   x , assim

∫ 1 e x   e y ( x )   1 + ( d y d x ) 2 d x .

Passo 3

Temos y é dado por

y ( x ) = l n   x .

Vamos calcular 1 + ( d y d x ) 2 , sendo

d y d x = 1 x

Assim,

1 + ( d y d x ) 2 = ( 1 x ) 2 + 1 = 1 + x 2 x .

Passo 4

Voltando para a integral

∫ 1 e x   e y ( x )   1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ 1 e x   e l n   x   1 + x 2 x d x = ∫ 1 e x   1 + x 2 d x .

Resolvendo por integração por substituição simples, u = 1 + x 2 e d u = 2   x   d x . Então

1 2 ∫ x = 1 e u   d u = ( 1 + x 2 ) 3 2 3 | e 1 = ( 1 + e 2 ) 3 - 2 2 3

∫ C x   e y d s = ( 1 + e 2 ) 3 - 2 2 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C x   e y d s = ( 1 + e 2 ) 3 - 2 2 3 .

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