Calcule
Onde e é formada pelo arco da parábola de a seguido pelo segmento de reta vertical de a .
Passo 1
Bem aqui temos uma integral de linha escalar, então vamos usar a fórmula:
Até aí tudo bem, só parametrizarmos a curva e tudo mais né? Mas aí que começa a ficar estranho, porque a curva tem dois pedaços, não dá pra parametrizar ela direto . . .
Mas calma, isso não é problema! É só dividirmos a curva assim:
Aí vai ser a parábola e vai ser o segmento de reta! E a integral vai ficar:
Então vamos calcular passo-a-passo cada uma dessas integrais!
Passo 2
Primeiro a parábola , que podemos parametrizar assim:
Como ele diz que vai do ponto ao ponto , então vamos ter que . E o módulo do vetor tangente:
Substituindo na função:
Agora é só jogar na fórmula!
Passo 3
A gente tinha:
Substituindo:
Fazendo a substituição:
Trocando os limites:
Então ficamos com a integral:
Show, vamos pra próxima integral agora!
Passo 4
Parametrizando o segmento de reta que vai de até ficamos com:
E o módulo do vetor tangente vai ser:
Substituindo na função:
Agora é só jogar na fórmula!
Passo 5
A gente tinha:
Substituindo:
Bem menos conta né?! Ainda bem, haha
Passo 6
Agora é só somar as duas integrais:
Pronto, fim de papo!