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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

Calcule a integral de linha da função escalar f x , y = | x | ao longo da curva C parametrizada por

σ : 0 ,   π / 2 → R 2 ,   t → ( e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t )

Passo 1

A integral de linha vai ser representada assim: ∫ C   | x | d s

Temos que a = 0 e b = π / 2 pelo próprio enunciado. A parametrização da curva nos dá x t = e t cos ⁡ t e y t = e t sen ⁡ t .

Passo 2

Começaremos calculando σ → ' = d e t cos ⁡ t d t , d e t sen ⁡ t d t =

= e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t , e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t =

= e t cos ⁡ t - sen ⁡ t , sen ⁡ t + cos ⁡ t

Passo 3

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = e 2 t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + e 2 t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 =

= e t cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t + sen 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t sen ⁡ t + cos 2 ⁡ t =

= e t 2

Passo 4

Podemos, então, substituir σ → ' na integral, escrevendo   | x | em função de t :

∫ 0 π / 2 | e t cos ⁡ t | . e t 2 d t =

= 2 ∫ 0 π / 2 e 2 t cos ⁡ t d t =

Passo 5

Vamos, agora, integrar por partes, chamando e 2 t = u e cos ⁡ t = v ' . Temos 2 e 2 t = u ' e sen ⁡ t = v .

∫ u v ' = u v - ∫ u ' v

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sen ⁡ t - 2 ∫ e 2 t sen ⁡ t   d t

Chamando, agora, e 2 t = u e sen ⁡ t = v ' , temos u ' = 2 e 2 t e v = - cos ⁡ t e a integral passa a ser:

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sen ⁡ t - 2 - e 2 t cos ⁡ t + 2 ∫ e 2 t cos ⁡ t d t

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t sen ⁡ t + 2 e 2 t cos ⁡ t - 4 ∫ e 2 t cos ⁡ t d t =

∫ e 2 t cos ⁡ t d t = e 2 t ( sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t ) 5

Substituindo na integral inicial, temos:

2 ∫ 0 π 2 e 2 t cos ⁡ t d t = 2 5   e 2 t ( sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t ) 0 π 2 =

= 2 5 e π 1 + 0 - 1 ( 0 + 2 ) =

Resposta

2 5 e π - 2

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