Considere o campo vetorial F ( x ,   y )   =   ( 3   +   2 x y ) i   +   ( x ²   -   3 y ² ) j .

b) Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é a curva dada por r t = e t sin ⁡ t i + e t cos ⁡ t j ,   0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Olá meu caro Mochileiro da Galáxia, aqui estou, Yuri, para ter acompanhar nesse incrível universo da matemática. Agora é hora de calcular uma integral de linha por uma curva parametrizada. Para isso temos o seguinte Teorema,

Seja C uma curva suave dada pela função vetorial r t ,   a ≤ t ≤ b . Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ∇ f é contínuo

em C. Então

∫ ∇ f ∙ d r = f r b - f r a

Para aplicarmos o Teorema, devemos conhecer os pontos inicial e final de C, isto é, r 0 =   ( 0 ,   1 ) e r π = ( 0 ,   - e π ) . Na expressão para f ( x ,   y ) da letra anterior, qualquer valor da constante K serve como já comentamos. Então tomemos K = 0 pois é mais facil hehe. Assim, temos

f x , y = 3 x + x 2 y - y 3

Agora é calcularmos quem é f 0,1   e   f ( 0 , - e π )

Passo 2

∫ C F ∙ d r =   ∫ c ∇ f ∙ d r = f 0 ,   - e π - f 0,1 = e 3 π - - 1 = e 3 π + 1

E aqui terminamos mais uma resolução, forte abraço e até uma próxima.

Resposta

e 3 π + 1

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