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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

Questão 3: Calcular a integral de linha da função escalar

∫ γ   4 - 3 x 2 - 3 y 2 d s  

Onde γ é a curva definida pela equação polar r = sin ⁡ 2 θ e situada no primeiro quadrante.

Passo 1

Aqui, para resolvermos devemos seguir o passo a passo da solução super clássica de Integrais de linha escalar:

  1. Parametrizar a curva γ .
  2. Calcular d s .
  3. Substituir f x ,   y pelos termos da parametrização.

Vamos nessa?

Passo 2

Primeiro devemos parametrizar essa curva. Ou seja, escrever os pontos dela desse jeito aqui:

γ θ = x θ , y θ

Ora, temos uma curva com uma equação polar, onde   r = sin ⁡ 2 θ . De acordo com a mudança para coordenadas polares, podemos falar que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ y = r ⋅ sin ⁡ θ

Substituindo o r ...

x = sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ y = sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ

Logo, a parametrização da nossa curva é:

γ θ = sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ , sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ

Como se trata de uma curva no primeiro quadrante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Nesse próximo passo, vamos calcular o termo d s :

d s = | γ ' θ | d θ    

Como

γ θ = sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ , sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ                         →                    

γ ' θ = 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ , 2 cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ + sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

Extraindo o módulo desse vetor:

| γ ' θ | = 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ + sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ 2           →

| γ ' θ | = 4 cos 2 ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ - 4 sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ + sin 2 ⁡ 2 θ sin 2 ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ 2 θ sin 2 ⁡ θ + 4 sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ + sin 2 ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ           →

Simplificando...

| γ ' θ | = 4 cos 2 ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ 2 θ sin 2 ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ 2 θ sin 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ         →

| γ ' θ | = 4 cos 2 ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ 2 θ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ         →

Lembrando que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ...

| γ ' θ | = 4 cos 2 ⁡ 2 θ + sin 2 ⁡ 2 θ         →

| γ ' θ | = 3 cos 2 ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ + sin 2 ⁡ 2 θ         →

| γ ' θ | = 3 cos 2 ⁡ 2 θ + 1    

Então...

d s = 3 cos 2 ⁡ 2 θ + 1   d θ    

Passo 4

Por último, antes de retornar a integral, devemos pegar a função de integração f x ,   y :

f x ,   y = 4 - 3 x 2 - 3 y 2

E substituir pela nova coordenada:

x = sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ y = sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ

Então...

f x ,   y = 4 - 3 x 2 - 3 y 2                   →

f x ,   y = 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ - 3 sin 2 ⁡ 2 θ sin 2 ⁡ θ                   →

f x ,   y = 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ                   →

f x ,   y = 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ

Passo 5

Retornando para a integral então...

∫ γ   4 - 3 x 2 - 3 y 2 d s = ∫ 0 π 2 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ ⋅ 3 cos 2 ⁡ 2 θ + 1   d θ  

Para esse produto de raízes ficarem mais simples, que tal colocarmos tudo com seno? Podemos fazer isso simplesmente lembrando que:

cos 2 ⁡ 2 θ + sin 2 ⁡ 2 θ = 1         →            

cos 2 ⁡ 2 θ = 1 - sin 2 ⁡ 2 θ  

Então...

∫ 0 π 2 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ ⋅ 3 1 - sin 2 ⁡ 2 θ + 1   d θ =

∫ 0 π 2 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ ⋅ 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ   d θ =

∫ 0 π 2 4 - 3 sin 2 ⁡ 2 θ   d θ =

Lembrando que...

sin 2 ⁡ 2 θ = 1 - cos ⁡ 4 θ 2

∫ 0 π 2 4 - 3 1 2 - cos ⁡ 4 θ 2   d θ = ∫ 0 π 2 4 - 3 2 + 3 cos ⁡ 4 θ 2   d θ =

5 2 θ + 3 2 ⋅ sin ⁡ 4 θ 4 0 π 2 =

5 π 4

Resposta

5 π 4

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