Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 03
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
Passo 1
Fala aí, galera bonita desse mundão! Mais uma questão de integral de linha:
mas dessa vez os nossos valores de e são definidos pelas informações dadas pelo enunciado:
O que sabemos da expressão:
É que podemos escrever os valores de e em função de seno e cosseno, enquanto é o valor ao quadrado que multiplica o seno e o cosseno:
Ou seja, nossa integral de linha é:
E como o enunciado diz que é apenas metade direita do circulo, temos que os valores de são:
Então nosso intervalo de integração é o mesmo:
Agora que já deciframos tudo que nosso enunciado nos deu, vamos desenvolver o que nosso conhecimento já sabe!
Passo 2
Agora vamos calcular
Já que o valor de e são:
Então nossa expressão se torna:
Derivando separadamente, calculamos:
Substituindo na fórmula:
A virada do jogo aqui é lembrar dessa relação entre o seno e o cosseno:
Então nossa derivada é:
Agora vamos voltar a integral de linha!
Passo 3
Nossa integral de linha é:
Como descobrimos no último passo:
Juntando todas essas informações, podemos escrever:
Temos que resolver a integral:
Vamos colocar para fora o número que está multiplicando a expressão dentro da integral:
Se realizasmos a substituição:
Na substituição, o intervalo de integração muda para:
Nossa integral se torna:
Voltando a nossa integral inicial:
Chegamos enfim ao valor final da integral de linha:
Que número gigante é essa resposta nota !