Calcule ∫ C y 2 d x + x d y

  1. C =     C 1 é o segmento de reta de ( - 5 ,   - 3 ) até o ponto ( 0 ,   2 ) ;

Passo 1

Beleza meu caro amigo?! Espero que sim, pois agora é hora do trabalho. Vamos ter que calcular uma integral de linha pelo caminho solicitado.

Temos essa querida questão para resolvermos, e a primeira coisa que iremos fazer é parametrizar o caminho C 1 .

Para isso iremos utilizar, guarde bem ela no seu coração, essa equação geral de parametrização quando estamos trabalhando com retas.

r t = 1 - t r 0 + t r 1   0 ≤ t ≤ 1

A representação parametrizada para o segmento de reta é entao

x = 5 t - 5

y = 5 t - 3

0 ≤ t ≤ 1

Então os nossos queridos diferenciais, ficam como

Passo 2

d x = 5 d t

d y = 5 d t

E a nossa integral agora tem a seguinte cara

∫ C 1 y 2 d x + x d y = ∫ 0 1 5 t - 3 2 5 d t + 5 t - 5 5 d t

= 5 ∫ 0 1 25 t 2 - 25 t + 4 d t

= 5 25 t 3 3 - 25 t 2 2 + 4 t 0 1 = - 5 6

E aqui terminamos nossa integração.

Resposta

- 5 6

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