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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Exercício 231234567891011121314151617181920212224252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960

Enunciado

  1. Calcule ∫ C   x   d x + x 2   d y   de - 1 ,   0 a 1 ,   0 ao longo
  1. da poligonal de vértices: - 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 e 1 ,   0

Passo 1

Bem, antes do começarmos qualquer coisa, vamos colocar essa integral de linha de uma forma mais elegante.

Como você já pode notar, a integral de linha está assim ∫ C   x   d x + x 2   d y , certo? Só que esse formato é apenas outra forma de falar que estamos trabalhando uma integral de linha de um campo de vetores: ∫ C   F → x ,   y d r →

∫ C   x   d x + x 2   d y = ∫ C   F → x ,   y d r →

Onde esse F → x ,   y é o vetor...

F → x ,   y = x ,   x 2

Se buscarmos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando.
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização.
  3. Encontrar o termo d r → .

Então vem comigo nessa aventura! :D

Passo 2

Vamos então parametrizar a curva C , mas por falar nisso, quem é a curva C ?

Bem, para encontra essa curva C , basca desenharmos essa poligonal do enunciado unindo os pontos: - 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 e 1 ,   0 .

Viu?

Agora note que há três curvas a serem parametrizadas que vou nomeá-las de C 1 , C 2 e C 3

Logo, para calcular a integral de linha que queremos, na poligonal C , devemos calcular a integral em cada uma dessas curvas separadamente e depois somarmos:

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ C 1   F → x ,   y d r → + ∫ C 2   F → x ,   y d r → + ∫ C 3   F → x ,   y d r →

Passo 3

Vamos fazer aqui a ∫ C 1   F → x ,   y d r → primeiro.

Como vimos, devemos parametrizar C 1 primeiro:

Como C 1 é uma reta, toda reta pode ser parametrizada da forma

x = x 0 + a t

y = y 0 + b t

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é um ponto da reta... No caso pode ser o próprio ponto de saída ( - 1 ,   0 ) ...

x = - 1 + a t

y = b t

Quanto ao ( a ,   b ) , ele nada mais é do que o vetor de direção da retinha e pode ser encontrada fazendo a subtração do ponto de chegada pelo ponto de partida

a ,   b = 0 ,   1 - - 1 ,   0

a ,   b = 1 ,   1

então, a = 1 e b = 1 ...

x = - 1 + t

y = t

Logo, a parametrização da reta C 1 de uma forma mais elegante...

γ 1 t = ( - 1 + t ,   t )

Como y é t e y está variando do ponto inicial - 1 ,   0   de y = 0 até o ponto final 0 ,   1 ...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y , esse x e y pelos termos da parametrização:

F → x ,   y = x ,   x 2       →

Como na parametrização que temos,   γ 1 t = ( - 1 + t ,   t ) , x é a primeira entrada e y é a segunda...

F → γ t = - 1 + t ,   - 1 + t 2   →

F → γ t = - 1 + t ,   1 - 2 t + t 2

Passo 5

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = γ ' t d t

Como no caso a parametrização foi γ 1 t = ( - 1 + t ,   t ) , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

γ 1 t = ( - 1 + t ,   t ) ,               →               γ ' t = 1 ,   1

Logo...

d r → = 1 ,   1 d t

Passo 6

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C 1   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C 1   F → x ,   y d r → = ∫ 0 1 - 1 + t ,   1 - 2 t + t 2 ∙ 1 ,   1 d t

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 1 - 1 + t ,   1 - 2 t + t 2 ∙ 1 ,   1 d t = ∫ 0 1 1 ⋅ - 1 + t +   1 ⋅ 1 - 2 t + t 2   d t =

∫ 0 1 - t + t 2   d t

Agora basta que resolva a integral e corra para o abraço!

∫ 0 1 - t + t 2   d t = - t 2 2 + t 3 3 0 1 =

- 1 2 + 1 3 =

- 1 6

Passo 7

Vamos repetir o processo, mas agora para encontrar o resultado da segunda integral: ∫ C 2   F → x ,   y d r → :

  • Portando devemos parametrizar a curva C 2 ...

    • Como é uma reta, sua parametrização é do tipo

    x = x 0 + a t

    y = y 0 + b t

    Onde ( x 0 ,   y 0 ) é um ponto da reta... No caso pode ser ( 0 ,   1 ) ...

    x = a t

    y = 1 + b t

    Quanto ao vetor de direção ( a ,   b ) , dessa vez

    a ,   b = 1 ,   1 - 0 ,   1 = 1 ,   0

    logo,

    x = t

    y = 1

    γ 2 t = ( t ,   1 )

    Com t saindo do x = 0 e indo até o x = 1 ...

    0 ≤ t ≤ 1

  • Sim, substituir a parametrização no campo vetorial F → x ,   y :

    • F → x ,   y = x ,   x 2       →

    Como nessa parametrização que temos,   γ 2 t = ( t ,   1 ) , x é a primeira entrada e y é a segunda...

    F → γ t = t ,   t 2  

  • Não se esqueça de encontrar o termo d r → para esse caso:

    • d r → = γ ' 2 t d t

    γ 2 t = t ,   1   →       γ ' 2 t = 1 ,   0

  • Substituindo na integral de linha...

∫ C 2   F → x ,   y d r → = ∫ 0 1 t ,   t 2 ⋅ 1 ,   0   d t =

∫ 0 1 t   d t = t 2 2 0 1 = 1 2

Passo 8

Mas uma vez, e não fique entediado, repetimos o processo para a última integral: ∫ C 3   F → x ,   y d r → :

  • Parametrizando, poderíamos fazer como fizemos até agora, ou para ganhar tempo, repare que a reta está perpendicular a y e passando por x = 1 , então sua parametrização tem y variando e x fixo sempre sendo 1 :

    • x = 1

    y = t

    como a reta desce, coloquemos um negativo na frente do y ... Portanto a parametrização é

    γ 3 = 1 , -   t

    onde t varia de 0 até 1

    0 ≤ t ≤ 1

  • Substituindo a parametrização no campo vetorial F → x ,   y :

    • F → x ,   y = x ,   x 2       →

    F → γ 3 t = 1 ,   1 2 →

      F → γ 3 t = 1 ,   1

  • O termo d r → para esse caso:

    • d r → = γ ' 3 t d t

    γ 3 t = 1 ,   - t   →       γ ' 3 t = 0 ,   - 1

  • Substituindo na integral de linha...

∫ C 3   F → x ,   y d r → = ∫ 0 1 1 ,   1 ⋅ 0 ,   - 1 d t =

∫ 0 1 - 1   d t =

- 1 t 0 1 = - 1

Passo 9

Finalmente somando tudo, obtemos a integral de linha em cima da Curva C composta, saca?

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ C 1   F → x ,   y d r → + ∫ C 2   F → x ,   y d r → + ∫ C 3   F → x ,   y d r →

∫ C   F → x ,   y d r → = - 1 6 + 1 2 - 1 = - 1 + 3 - 6 6 =

- 2 3

Resposta

c )   - 2 3

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