Sabendo que
Onde é a elipse
Calcule a área da região limitada pela elipse.
Passo 1
A área da elipse pode ser encontrada pela fórmula:
Só que ele não dá os valores de nem de , só dá uma integral de linha super estranha aí, mas vamos esperar que a gente consiga alguma informação dela, né, senão o exercício não faz sentido.
Passo 2
Temos uma integral de linha escalar, então vamos usar nossa fórmula:
A parametrização da elipse é dada por:
Então, pro módulo do vetor tangente vamos ter:
Agora a gente já tem tudo pra calcularmos nossa integral!
Passo 3
Substituindo na fórmula, vamos ter:
Eita, que negócio estranho... Mas vamos confiantes que vai dar tudo certo!
Viu, uma hora isso tinha que simplificar!
Passo 4
Como ele dá no enunciado que:
Jogando isso lá na nossa fórmula da área da elipse, vamos ter:
Ufa, que exercício estranho... Mas é só a gente não se perder naquelas expressões malucas que uma hora sai!