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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 1b

Calcule a integral de linha

∫ γ x y 4 d s     c o m   γ   s e n d o   x 2 + y 2 = 16 ,   x ≥ 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular a integral de linha

∫ γ x y 4 d s     c o m   γ   s e n d o   x 2 + y 2 = 16 ,   x ≥ 0

Lembram como calculamos uma integral de linha? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular a seguinte integral de linha sobre a curva

∫ γ f ( x ( t ) , y ( t ) ) d s     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, nossa integral de linha é dada por:

∫ a b f ( x ( t ) , y ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

∫ γ x y 4 d s     c o m   γ   s e n d o   x 2 + y 2 = 16 ,   x ≥ 0

Vamos começar calculando a parametrização desta curva. Como temos uma circunferência de raio 4 com coordenada x ≥ 0 sua parametrização é

γ ( t )   =   ( 4 c o s ( t ) , 4 s i n ( t ) ) ,   - π / 2 ≤ t ≤ π / 2

Nesse caso, como

γ ( t )   =   ( 4 c o s ( t ) , 4 s i n ( t ) ) ,   - π / 2 ≤ t ≤ π / 2

então

x ( t ) = 4 c o s ( t )

y ( t ) = 4 s i n ( t )

Logo,

γ ' ( t ) = ( - 4 s i n ( t ) , 4 c o s ( t ) )

então

| γ ' ( t ) | = 16 ( s i n 2 + c o s 2 )

= 4

Então nossa integral fica

∫ γ x y 4 d s

∫ - π / 2 π / 2 4 c o s ( t ) 4 4 s i n 4 ( t ) 4 d t

Passo 3

4 6 ∫ - π / 2 π / 2 c o s ( t ) s i n 4 ( t ) d t

Fazendo u = s i n ( t ) ⇒ d u = c o s ( t ) d t . Logo a integral fica

4 6 ∫ c o s ( t ) s i n 4 ( t ) d t = 4 6 ∫ u 4 d u

Integrando

= 4 6 * 1 5 u 5

Voltando para a variável t

= 4 6 / 5 * s i n 5 ( t )

Aplicando os limites de integração

= 2 * 4 6 / 5

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 2 * 4 6 / 5

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